착란원(보케, 빛망울, 아웃포커스 효과) 크기 공식의 증명 또는 계산

존포커스를 활용해야 하는 롤라이35의 피사계심도 표를 보기 시작하면서 어려워 보이는 수식 시리즈가 시작됐었다. 해가 다 가기 전에 마무리를 할까 한다. 지금까지는 필름 또는 센서에 맺히는 흐려진 초점, 즉 착란원(빛망울, 보케, 뭐라 부르든 아무튼)의 크기를 구하는 공식을 별다른 설명없이 차용해 왔었다. 아웃포커스는 촬영하는 거리, 배경의 거리, 조리개, 초점거리에 따라 결정된다는 일반적 명제를, 오늘은 구체적으로 확인해보려고 한다. 물론 아주 기초적인 광학과 산수를 이용해서.

 

광축 위에 초점거리 F, 조리개 N인 얇은 렌즈가 있다고 치자. (우리가 사용하는 실제 렌즈는 얇은 렌즈의 조합으로 제작되지만, 그 조합의 결과를 가상의 새로운 얇은 렌즈가 제2 주점에 자리한 것으로 가정할 수 있다) 이제 렌즈로부터 거리 a만큼 떨어진 어떤 점(초록색. 점이지만 원으로 나타냈다)에 초점을 맞추면, 크기가 0인 이 점은 당연히 촬상면에 역시 크기가 0인 점으로 상을(초록색. 역시 원으로 표현했다) 맺는다. 이 때 초점을 정확히 맞추기 위해 결정된 얇은 렌즈의 위치를 촬상면으로부터 측정해 x라고 부르자. 그러면 얇은 렌즈를 가정했으니, a와 F와 x 사이에 렌즈제작 공식이 성립한다.

 

원하는 초점이 맞았으므로 이제 렌즈는 셔터를 누를 때까지 움직이지 않을 것이다. 이 상태에서 b만큼 더 먼거리에 있는 점들은 어떤 상을 맺게 될까? 가 질문이다.

 

 

렌즈제작 공식은 언제나 성립하니까 이를 활용하면, 멀리 있는 빨간 점에서 나온 빛들은 이미 위치가 결정된 얇은 렌즈에 의해 굴절된 뒤에 (x가 아닌) x'에서 한 점으로 모이게 된다. 촬상면이 이 자리에 있었더라면 멀리 있는 점이 정확한 초점의 상을 가졌을 것이다. 안타깝게도 우리의 필름/센서는 거기에 없다. 따라서 엉뚱한 x' 위치로 모여든 빛은 직진을 계속한 뒤에 실제 촬상면에 닿게 된다. 이러면 멀리 있었던 크기 0의 빨간 점은, 촬상면에서는 크기 c인 원으로 상을 맺게 된다. 이걸 착란원이라고 부른다. 당연히, 이 원들이 모여 이루는 경계선도 그만큼의 두께로 흐려져 보일 것이다. 

 

 

필요없는 것들을 털어내고 그림을 다시 보면, 렌즈에서부터 촬상면에 이르는 사이의 공간에 두 개의 삼각형이 닮음을 이루고 있는 걸 확인할 수 있다. 조리개 값이 증가하면 렌즈를 가리는 면적이 커진다는 걸 기억할 것이다. 빛이 렌즈를 실제로 통과할 수 있는 '유효구경'은 초점거리와 조리개에 의해 F/N으로 정의된다. 닮음비에 따라 비례식을 세우고 외항과 내항을 곱하면, 착란원의 크기 c를 구하기 위해서는 x-x'을 x'으로 나눈 분수를 구해야 한다는 결론을 얻는다. 

 

 

이 계산은 복잡하고 짜증나지만, 이런 걸 틀림없이 해내는 팁이 있다. 한숨 한번 쉬고, 그저 차분하고 성실하게 써내려 가면 그만이다. 분수의 뺄셈을 계산하느라 통분하고 곱하고 빼고 난리를 피우긴 할 것이다. 걱정하지 말자. 아무리 바닷물이라도 뙤약볕 아래에서 하얗게 소금결정이 남듯이, 결국 소거될 것은 소거되고 약분될 것은 약분되어 보다 간단한 형태로 제 모습을 드러낼 것이다. 

 

 

지금까지 계산한 걸 F/N 뒤에 붙여주기만 하면 착란원의 크기를 구하는 식이 얻어진다. 여기에 따른 물리적인 해석과 사진에서의 활용 등등은 이미 앞서의 포스팅을 참고하도록 하자.

 

네X버에서 '배경흐림 계산' 이렇게 검색하면 이 포스팅의 내용과 똑같은 게시물(blog.naver.com/dreaming2b/221728295191)이 하나 보일 수 있다. 오해하지 말자. 내가 써둔 거니까. 셀프표절인가. 아니다. 재작성이라고 해두자.